Внешний совместитель нашей организации собирается увольняться по собственному желанию. Причем у него не закончился испытательный срок. Должны ли мы платить ему компенсацию за неиспользованный отпуск?

Да, работнику необходимо выплатить компенсацию за неиспользованный отпуск, хотя испытательный срок еще не истек.
В данном случае не имеет значения, работает сотрудник по основному месту работы или по совместительству. Дело в том, что в соответствии со ст.287 Трудового кодекса гарантии и компенсации, предусмотренные трудовым законодательством, предоставляются совместителям в полном объеме.
Если, находясь на испытательном сроке, сотрудник решит, что предложенная работа ему не подходит, он вправе расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня (ст.71 ТК РФ).
При увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска (ст. 127 ТК РФ). Причем независимо от того, когда он увольняется – до истечения испытательного срока или после.
Здесь надо обратить внимание на порядок расчета неиспользованных дней отпуска.
Очевидно, если работник не отработал рабочий год, права на полный отпуск у него нет. Дни отпуска, за которые выплачивается компенсация, рассчитываются пропорционально отработанным месяцам. Период менее половины месяца исключается из расчета. Излишки, составляющие не менее половины месяца, округляются до полного месяца (Письмо Роструда от 02.07.2009 N 1917-6-1).
Пропорциональный расчет дней неиспользованного отпуска закреплен также в Правилах об очередных и дополнительных отпусках, утвержденных НКТ СССР 30.04.1930 N 169 (они действуют в части, не противоречащей ТК РФ).
Например, если работник отработал два месяца и пять дней, компенсация за отпуск рассчитывается за два месяца. Если он отработал два месяца и 20 дней, компенсация выплачивается за три месяца.